La fonction inverse est la fonction définie par f(x)=1/x pour tout nombre réel x différent de zéro. Sa courbe est une hyperbole, et elle est décroissante sur chacun des intervalles ]−∞ ; 0[ et ]0 ; +∞[ : x et 1/x ont toujours le même signe.
Quand x passe de 0,5 à 2, son inverse passe de 2 à 0,5 : la relation se renverse. Cette observation aide à comprendre pourquoi la courbe ne ressemble pas à une droite et pourquoi zéro reste exclu. En Seconde, les difficultés viennent souvent d’une confusion entre l’inverse d’un nombre, l’opposé d’un nombre et la fonction réciproque. Ce cours relie les calculs, le tableau de variation et la lecture graphique pour rendre chaque étape vérifiable.
Les réponses en un coup d'œil
Fonction inverse : définition, formule et domaine de définition
La fonction inverse associe à chaque nombre réel non nul x son inverse : f(x)=1/x. Autrement dit, elle cherche le nombre qui, multiplié par x, donne 1. Il ne faut pas confondre l’inverse et l’opposé : l’opposé de x est -x, tandis que son inverse est 1/x. Par exemple, l’inverse de 4 est 1/4 ; l’inverse de 0,5 est 2, puisque 0,5×2=1. Un nombre et son inverse ont toujours le même signe : l’inverse d’un nombre positif est positif, celui d’un nombre négatif est négatif. Zéro n’a pas d’inverse, car une division par zéro n’a pas de sens. Le domaine de définition est donc R\{0}, aussi noté R*, ou encore ]-∞ ;0[ ∪ ]0 ;+∞[. Les cours de Seconde de myMaxicours, SchoolMouv et la fiche de Maths et Tiques constituent des ressources utiles pour consolider ces notations et s’entraîner.
Variations et représentation graphique : comprendre l’hyperbole
Dans un repère, la courbe de f(x)=1/x est une hyperbole formée de deux branches : une dans le premier quadrant, pour les valeurs positives, et une dans le troisième quadrant, pour les valeurs négatives. Elle ne coupe jamais les axes. La droite d’équation x=0 est une asymptote verticale : lorsque x se rapproche de zéro, les valeurs de 1/x deviennent très grandes en valeur absolue. La droite y=0 est une asymptote horizontale : lorsque x s’éloigne beaucoup de zéro, 1/x se rapproche de zéro sans l’atteindre. La fonction est décroissante sur ]-∞ ;0[ et aussi sur ]0 ;+∞[. On ne dit pas qu’elle est décroissante sur tout R*, car les deux intervalles sont séparés par zéro. La continuité se discute donc sur chacune de ces parties du domaine.
| Situation de x | Comportement de 1/x |
|---|---|
| x se rapproche de 0 par valeurs positives | 1/x augmente sans limite |
| x devient très grand et positif | 1/x se rapproche de 0 par valeurs positives |
| x se rapproche de 0 par valeurs négatives | 1/x diminue sans limite |
| x devient très négatif | 1/x se rapproche de 0 par valeurs négatives |
Calculer une image et trouver les antécédents par la fonction inverse
Image, antécédent et solution d’équation ne désignent pas le même geste, même s’ils mobilisent la même formule. Pour travailler avec rigueur, appliquez cette méthode :
- Vérifier que la valeur utilisée n’est pas zéro.
- Écrire f(x)=1/x.
- Pour une image, remplacer x par la valeur donnée ; pour un antécédent, résoudre l’équation obtenue.
- Contrôler par substitution dans la formule initiale.
Ainsi, l’image de -4 est f(-4)=1/(-4)=-1/4. Pour chercher l’antécédent de 2/3, on résout 1/x=2/3, donc x=3/2. De même, 1/x=-5 donne x=-1/5. Zéro n’a pas d’image, car il est exclu du domaine ; il n’a pas non plus d’antécédent, puisque 1/x ne peut jamais valoir zéro. Dans une inégalité, le signe de x doit être étudié avant toute multiplication : multiplier par une quantité négative inverse le sens de l’inégalité.
Ne pas confondre fonction inverse, fonction réciproque et fonction cube
La fonction inverse est un objet précis : x↦1/x. Elle ne doit pas être confondue avec la fonction réciproque d’une fonction. Une réciproque « défait » l’action d’une fonction bijective : si g(x)=2x, alors sa réciproque associe x à x/2. La notation g⁻¹ peut désigner cette réciproque, mais elle ne signifie pas automatiquement 1/g(x). La fonction cube x↦x³ est encore différente : elle est définie pour tout réel, traverse l’origine et possède une seule courbe continue, contrairement à l’hyperbole de la fonction inverse, séparée par les axes. Une fonction affine, telle que x↦ax+b, n’a pas non plus cette forme. Au lycée, la dérivée de 1/x est -1/x² et les primitives de 1/x conduisent au logarithme ; ces prolongements dépassent généralement les attendus immédiats de Seconde. Retenir les écritures complètes évite l’ambiguïté : « fonction inverse » pour 1/x, « fonction réciproque » pour l’inversion d’une bijection.
Réviser la fonction inverse en Seconde : méthode, erreurs et exercices
Une révision efficace relie manipulation, représentation et justification. Commencez par choisir quelques valeurs positives et négatives, anticipez le signe de leur inverse, vérifiez à la calculatrice, puis expliquez le résultat par écrit. Entraînez-vous avec un tableau de valeurs, un tracé guidé de l’hyperbole et une recherche d’antécédents. Les erreurs fréquentes sont révélatrices : écrire -x à la place de 1/x, accepter zéro dans le domaine, relier abusivement les deux branches, ou appeler « réciproque » la fonction inverse. Le contrôle par remplacement reste le meilleur réflexe. Cette démarche active, fondée sur l’essai, la verbalisation et l’auto-vérification, rejoint des repères pédagogiques portés par l’AMI, l’AMS, l’ICEM, l’EUDEC et les Cahiers Pédagogiques. Situez enfin cette notion parmi les généralités sur les fonctions, la valeur absolue, les fonctions affines, les statistiques continues et bivariées, les probabilités conditionnelles, le repérage, les vecteurs, la colinéarité et les équations de droites, sans confondre leurs méthodes.
Pour maîtriser la fonction inverse, commencez toujours par exclure zéro, puis observez le signe et la position de x par rapport à 1. Vérifiez ensuite votre résultat sur la courbe ou par un calcul simple. Entraînez-vous avec des images et des antécédents variés : cette double lecture, algébrique et graphique, sécurise durablement les raisonnements.
Les questions fréquentes
Comment trouver l’inverse d’une fonction ?
Il faut distinguer deux sens. Pour la fonction inverse, on calcule 1/x. Pour trouver la fonction réciproque d’une fonction, on pose y=f(x), on exprime x en fonction de y, puis on échange les lettres. Cette seconde démarche exige que la fonction soit bijective sur l’ensemble étudié.
Comment tracer l’hyperbole de la fonction inverse ?
Tracez d’abord les axes, qui sont les asymptotes de la courbe. Placez ensuite des points obtenus avec des valeurs simples de x, positives puis négatives, et calculez 1/x. Reliez les points par deux branches lisses qui s’approchent des axes sans les couper.
Quel est le sens de variation de la fonction inverse ?
La fonction x↦1/x est décroissante sur ]-∞ ;0[ et décroissante sur ]0 ;+∞[. Cette précision est essentielle : zéro coupe le domaine en deux intervalles. Il ne faut donc pas annoncer une décroissance sur tout R*, car il n’existe pas de courbe continue passant par zéro.
Quels sont les antécédents par la fonction inverse ?
Pour trouver l’antécédent d’un réel non nul b, résolvez 1/x=b. On obtient x=1/b. Chaque nombre non nul possède donc un unique antécédent par la fonction inverse. En revanche, zéro n’en possède aucun, puisque 1/x ne peut jamais être égal à zéro.
Comment s’écrit la fonction inverse ?
La fonction inverse s’écrit f(x)=1/x, avec x différent de zéro. Son domaine peut s’écrire R*, R\{0}, ou ]-∞ ;0[ ∪ ]0 ;+∞[. Ces écritures désignent le même ensemble : tous les nombres réels sauf zéro.
Comment inverser la fonction inverse ?
Appliquer deux fois la fonction inverse ramène au nombre de départ, à condition qu’il soit non nul : 1/(1/x)=x. La fonction inverse est donc sa propre fonction réciproque sur R*. Cette propriété ne signifie pas que zéro peut être utilisé : il reste exclu à chaque étape.
Quel est l’inverse de 0,5 ?
L’inverse de 0,5 est 2, car 0,5×2=1. Pour trouver rapidement un inverse, cherchez le nombre qui donne 1 lorsqu’il est multiplié par le nombre initial. Cette vérification par produit est particulièrement utile avec les écritures décimales et fractionnaires.